Historia del Número

Agustín Martínez Menéndez. Dr. en Física; Vpte. Soc. Madrileña de Profesores de Matemáticas

Susa, a orillas del Éufrates, año 3100 a.c. En el mercado, un tratante de ganado y un comerciante en grano ultiman un trato. Tras el acuerdo, introducen una serie de fichas de barro cocido en una bola de arcilla. Sellan la bola, la entregan a un contador y observan cómo es cocida en un horno y almacenada.

Hemos contemplado una de las más antiguas experiencias relacionada con las matemáticas de la que tenemos noticia: un reconocimiento de deuda. Las fichas son distintas si se trata de trigo o de corderos, y los símbolos impresos en ellas determinan la cantidad.

En esta etapa tan antigua de la civilización, en la que la escritura apenas representa la lengua hablada, ya se representaban números, pero muy alejados del concepto moderno que hoy les damos. Tenían un sentido simbólico e íntimamente ligado a las magnitudes que representaban, no eran entidades independientes y abstractas.

Volvamos a nuestro mercado en Susa, pero unos 300 o 400 años después. Otros comerciantes realizan sus transacciones, pero ya no utilizan bola alguna, se limitan a marcar unos símbolos sobre una tablilla de arcilla ¿Qué es lo que ha ocurrido? ¿Por qué el cambio?

La explicación se debe a uno de los dos o tres saltos conceptuales de mayor importancia referidos al número.

Inicialmente los números estaban ligados a una metrología; así 3 panes no se escribían igual que 3 vacas, ni que 3 azumbres de vino. Se usaban fichas y símbolos característicos de cada categoría metrológica.

Pero en algún momento entre el 2800 y el 2400 a.C. se dio el salto: el símbolo de la cantidad (3), es independiente de lo que representa (panes, vacas o vino), es decir, se pasa del número como entidad concreta al número como objeto abstracto. Al desligar el concepto de la magnitud representada, se pueden comenzar a estudiar las propiedades del número como tal, lo que luego llamaremos aritmética.

A medida que las sociedades progresan, la necesidad de intercambiar información crece, y cada vez los números que se manejan son más grandes. Llega un momento en el que está claro que ya no se puede dar un nombre diferente a cada número nuevo y que es necesario usar una cantidad de símbolos distintos lo más pequeña posible para la representación numérica. Es decir, es necesario diseñar un sistema de numeración, con una base, unas cifras y una forma específica de escribir los números

La mayoría de los sistemas de numeración han usado la base 10, quizá por los dedos de las manos, pero los ha habido de base 20 como los de los mayas, de base 5 en tribus de Oceanía o de base 12 o 60 en el caso de nuestros viejos amigos sumerios.

La mayoría de las culturas han desarrollado símbolos propios para los números. Los egipcios en sus jeroglíficos, los trazos cuneiformes de los sumerios o los grabados en piedra mayas nos dan ejemplos abundantes al respecto. Así los griegos y los romanos usaron formas arcaicas de las letras de sus alfabetos para representar números significando en realidad poco más que una representación simplificada de las cantidades asociadas.

La pregunta es ahora: ¿por qué algunos sistemas han tenido éxito y otros no?. Desde luego hay contestaciones basadas en el dominio ideológico, en la aculturación, etc., pero desde nuestro punto de vista, es más sencilla otra explicación.

Intentemos multiplicar MMCDXIII por LCCVII. Posiblemente seremos incapaces de hacerlo sin recurrir al sistema decimal como ayuda. Pero los romanos no tenían a su disposición el sistema decimal, y no podían tampoco efectuar ese producto.

Tanto el sistema romano de numeración como el griego tenían una limitación estructural fortísima: no eran posicionales en el sentido actual del término. Para calcular se requería el uso de ábacos, ya que con sus números no era posible construir algoritmos formales de cálculo. Además, no habían establecido el concepto de cero, y no disponían por tanto de símbolo alguno para señalarlo.

¿Quiere esto decir que hasta fechas recientes se ha ignorado la notación posicional? No, ya hace mas de 2500 años los sumerios usaban un sistema posicional de base 60, con dos cifras distintas; los chinos lo desarrollaron hacia el siglo II a.c. en base 10 y los mayas en los siglos VII y VIII de nuestra era en base 20. Pero ninguno de ellos ha llegado a nuestros días.

Cada uno tenía limitaciones propias, pero el problema fundamental de todos ellos era que no poseían el concepto de cero en el sentido operacional del término.

La solución definitiva al problema se desarrolló en la India hacia el siglo VIII d.c. Un sistema de numeración de base 10, con 10 símbolos distintos para las cifras, incluyendo entre ellas el cero como una más, dotado de sentido operacional. Este sistema fue conocido por los árabes en el momento de su máxima expansión, y fueron ellos los que lo trajeron a Occidente, entrando en Europa por España hacia el siglo X u XI de nuestra era.

En su época significó una revolución difícilmente comprensible para nosotros hoy día. El comercio y la industria estaban estructuradas sobre el sistema romano de numeración y el uso del ábaco para el cálculo. Pero el nuevo método indo-arábigo de numeración permitía el desarrollo de algoritmos para las operaciones que, con sólo un papel y un lápiz, y el conocimiento de una serie de reglas sencillas, efectuaban todas aquellas complicadísimas operaciones con gran facilidad.

El choque duró muchos años, y el acta definitiva de defunción del método antiguo aparece reflejada en el "Liber Abacci" publicado por Fibonacci en 1202. A partir de este momento el desarrollo del número y sus aplicaciones al cálculo fue trepidante, alcanzando su culminación 400 años después con el descubrimiento de los logaritmos, que posibilitaron el desarrollo de instrumentos autónomos mecánicos de calculo. Pero eso ya es otra historia.