Historia del Cálculo I

Agustín Martínez Menéndez. Dr. en Física; Vpte. Soc. Madrileña de Profesores de Matemáticas

Del ábaco al logaritmo

"Houston, tenemos un problema". Con esta frase, de la archiconocida película Apolo XIII, he comenzado muchas veces clases de informática o de manejo de calculadoras. La práctica totalidad de los alumnos ha visto el film, pero la pregunta que efectúo a continuación: ¿cuántas calculadoras hay en las mesas del Centro de Operaciones de Houston? Ya no la contesta nadie, y eso que la respuesta es bien sencilla: ninguna.

La película transcurre en 1973, cuatro años después de la llegada a la Luna, y en aquellas fechas el instrumento individual para efectuar operaciones era la regla de cálculo. Las calculadoras electrónicas no existían.

Hoy en día estamos tan inmersos en la informática y sus aplicaciones, y las calculadoras electrónicas son tan corrientes, que olvidamos que esta tecnología es absolutamente novedosa en la historia de la humanidad, y que en su mayor parte tiene menos de 20 años de antigüedad.

Los primeros cálculos

Históricamente, los métodos de cálculo más antiguos conocidos se basan en la anatomía humana, esencialmente en la digitación y el uso de las manos para contar e incluso para calcular operaciones simples. Desde el punto de vista instrumental conviene recordar que para los griegos, quizá nuestros antepasados científicos y filosóficos más venerados, la Aritmética no incluía para nada el cálculo, era un estudio de las propiedades de los números. El cálculo era Logística, y estaba relegado poco menos que al uso por los esclavos. Pero es evidente que los puentes habían de construirse, las máquinas funcionar y el comercio desarrollarse. Esta situación desembocó en el uso de un instrumento mecánico: el ábaco.

La base del ábaco es sencilla: se usan un conjunto de elementos de señalización, ya sean piedrecitas (calculus en latín, de ahí cálculo), marcas en una tablilla, varillas de bambú, fichas coloreadas etc. Y, a través de una serie de manipulaciones mecánicas que dependen de la estructura del aparato, se consigue efectuar operaciones sin un desarrollo formal del algoritmo de cálculo.

Esto último es importante, hasta el siglo XIII, los sistemas de numeración no eran posicionales, y desconocían el valor operacional del cero, cuando no su existencia. Esto imposibilitaba el desarrollo de algoritmos de cálculo, y era el ábaco el elemento que permitía el avance científico, técnico e industrial.

Al aparecer el sistema indo-arábigo de numeración, se produjo una profunda transformación. Aunque la transición del sistema romano de numeración al decimal fue sorprendentemente lenta, debido a lo engorroso de los algoritmos con lápiz y papel ante el uso de los ábacos, Pero la mayor versatilidad de los métodos algorítmicos hizo que la batalla entre abacistas y algoristas se decantara finalmente hacia el lado de estos últimos en el siglo XVI, aunque el ábaco siguió siendo el instrumento comercial por excelencia.

El diseño del ábaco ha variado poco en los últimos 3000 años. De la estructura de los ábacos descritos por Cicerón, que describe incluso ranuras adicionales para el cálculo de fracciones, hasta el soroban japonés, desarrollado en fecha tan cercana como los años treinta de nuestro siglo, las diferencias son insignificantes, y de índole operativa, nunca de planteamiento, lo que demuestra una vitalidad que hace del ábaco un instrumento de uso común en muchos países orientales, en la antigua Unión Soviética, e incluso en nuestras casas, cuando enseñamos a contar a nuestros hijos o marcamos una jugada de billar. Tiene 3000 años y goza de buena salud.

La teoría en acción

Tras la revolución del sistema decimal de numeración, a lo largo de los siglos XV y XVI los matemáticos demostraron un gran interés en los instrumentos de cálculo. Lo que contrasta fuertemente con la dicotomía establecida por Platón 2000 años antes. Prueba de ello es la rivalidad entre Bürgi y Galileo en la construcción del artificio de cálculo conocido como compás proporcional (un ejemplar del cual se puede ver en el Museo Naval de Madrid), que fue ampliamente usado por marinos e ingenieros militares de la época. Más accesibles a nivel popular fueran la famosas Tablillas, varas o huesos de Neper. John Neper fue un matemático escocés que publicó en 1917 un invento simple, derivado de un sistema utilizado ya en Oriente, consistente en unas varillas de madera, cartón o hueso que, por yuxtaposición de unas con otras permitían calcular productos de números.

Pero estas tablillas no hubiesen pasado de un simple divertimento si Neper no hubiese desarrollado uno de los avances más importantes en la historia de las matemáticas: el concepto de logaritmo.

Esta idea, que permitió efectuar operaciones hasta entonces imposibles o al menos costosísimas tales como grandes potencias, raíces de índices no enteros, etc., aumentando enormemente la potencia y versatilidad de los algoritmos de cálculo, tenía en su base un concepto que los prácticos del cálculo encontraron de utilidad inmediata: transformaba productos en sumas y cocientes en restas.

A los pocos años, se dieron los pasos para mecanizar estas operaciones. Los logaritmos se marcaron sobre una línea recta, y las multiplicaciones y divisiones se efectuaban sumando y restando longitudes, usando un par de separadores. En 1621 William Oughtred empleó dos de estas líneas de números que deslizaban una sobre otra y no necesitaban separadores. Acababa de nacer la regla de cálculo, que ha sido el distintivo de los científicos e ingenieros hasta la década de los setenta, cuando empezaron a popularizarse las calculadoras de bolsillo.

Paralelamente el desarrollo de instrumentos portátiles -y analógicos-, como la regla de cálculo, se produce en el siglo XVII la aparición de instrumentos mecánicos de cálculo de base digital. El primero es el diseñado para ayudar a su padre, recaudador de contribuciones, por el matemático y filosofo francés Blaise Pascal. Esta máquina, que ahora denominamos máquina de Pascal, era capaz de sumar y restar usando un sistema de engranajes interconectados, un poco como hacen los cuentakilómetros de los coches actualmente.

Aunque no llegó a tener el éxito comercial deseado por su creador, estableció un camino, que otros, como Samuel Morland y, sobre todo el filósofo alemán Gottfried von Leibnitz, que desarrolló, basándose en un engranaje de tipo diferencial, con un cilindro sobre el cual engrana una rueda deslizante llevaron a buen puerto. De hecho, el cilindro de Leibnitz ha sido la base de la práctica totalidad de las calculadoras mecánicas posteriores, que han llegado hasta nuestros días y que todavía podemos ver en alguno establecimientos antiguos.

Autómatas y máquinas analíticas

Lógica y tecnología

El siglo XVIII, el siglo de las luces, no aportó apenas nada nuevo desde el punto de vista tecnológico a los instrumentos de cálculo, aunque si lo hizo a los desarrollos teóricos básicos, relacionados con la teoría matemática pura y la lógica formal.

Las realizaciones prácticas que nos han llegado son muy dispares, tanto en el diseño como en su propósito final. Nombraremos dos. La más llamativa y conocida es el denominado autómata de Maelzel. Diseñada por el Baron Kemplen en 1769 era un autómata jugador de ajedrez, y fue exhibida por el inventor de instrumentos musicales Maelzel por Europa y América. Se perdió en un incendio en 1856.

Menos conocido, pero mucho más significativo desde el punto de vista matemático fue el demostrador de Stanhope. Presentado y comercializado en 1777, resolvía mecánicamente los silogismos clásicos y problemas sencillos de probabilidad. Fue el precedente, en más de un aspecto de los componentes lógicos de los ordenadores actuales.

Los pasos de gigante en el cálculo mecánico se dieron en el siglo XIX, el siglo de la revolución industrial. El primer hecho significativo proviene de un campo tan ajeno al mismo como el diseño textil. En 1802 Joseph Marie Jacquard inventó el telar automático, basado en las cajas de música, y que controlaba el tejido de telas a través de una cinta sin fin de tarjetas perforadas. La idea de Jaquard, que revolucionó la producción textil en masa, ha sido la base de la fabricación de muchos componentes informáticos y lenguajes de programación.

Es en este siglo cuando la idea de Leibnitz para las máquinas de calcular entran en producción masiva. El primer desarrollo fue el aritmómetro de Colmar en 1820, seguida del contómetro de Felt en 1885, que fue la primera máquina de calcular con teclas.

En 1886 el profesor Herman Hollerith inventó la primera máquina de tabulación estadística, utilizando tarjetas perforadas para la entrada de datos. Inicialmente desarrollada para la computación del censo de los Estados Unidos de 1880 convirtió a Hollerith en un hombre rico y dio lugar a la aparición de la Tabulating Machines Company, predecesora de la International Busines Machines IBM.

Pero no sólo son las técnicas mecánicas las que experimentan un auge relevante en esta época. Los trabajos de Hamilton y De Morgan establecen las bases para que el lógico George S. Boole presente en 1954 su desarrollo del álgebra de Boole. Este sistema reduce los argumentos lógicos a permutaciones de los tres operadores algebraicos básicos "y", "o" y "no". Este álgebra establece sin duda alguna las bases para la actual teoría de la información, mucho antes de que los ordenadores llegaran a ser creados.

También alcanzó la mecanización a la lógica formal. Al reducir a una serie de cálculos mas o menos mecánicos el análisis proposicional, Boole posibilitó que el 1869 Wiliam Stanley Jeevons inventara la primera máquina lógica basada en el álgebra de Boole, que resolvía problemas mas rápidamente que la mente humana.

Charles Babbage y Ada Lovelace. Un mundo aparte

Entre todos los precursores, teóricos y prácticos, de los sistemas de cálculo destaca sin lugar a dudas un hombre singular: Charles Babbage. Fue un personaje inquieto, laborioso y brillante. Profesor de matemáticas en Cambridge, su interés estaba en realidad en las reformas científicas y administrativas de su época y en el diseño de máquinas de calcular.

Su primera aportación fue la construcción de una Maquina de Diferencias que tabulaba funciones matemáticas. Tras la presentación de esta máquina el gobierno inglés le financió una máquina de diferencias mejorada que, debido a su perfeccionismo enfermizo, nunca llegó a construir.

Pero lo que diferencia a Babbage de otros tantos diseñadores e inventores es el salto conceptual que llevó a cabo en 1832. Hasta entonces todas las máquinas de cálculo construidas lo eran con un propósito específico: sumaban, multiplicaban o resolvían silogismos, pero sólo eso. Babbage concibió, y ahí reside su genio, una máquina de propósito universal, capaz de resolver cualquier tipo de cálculo matemático. Y no solamente formuló la idea, sino que estableció la estructura de la máquina diferenciando:

1. Un almacén (llamado memoria), para almacenar los datos, tanto los suministrados a la máquina como los generados en operaciones intermedias.

2. Una unidad aritmética, es decir, un dispositivo capaz de efectuar cálculos con dichos datos.

3. Una unidad de control, que establece la secuencia en la cual se han de realizar las operaciones.

4. Elementos de entrada, por los que se suministran a la máquina datos e instrucciones de operación.

5. Elementos de salida, para mostrar los resultados del cálculo.

¡Todo esto hace más de 160 años!

Técnicamente la máquina de Babbage era de una complejidad extrema para su época. Usaba elementos mecánicos como poleas, ruedas dentadas y engranajes, y la tecnología de la época imposibilitaba en la práctica su construcción.

Pero Babbage estableció más sistemas novedosos. Para la alimentación de datos planteó usar las tarjetas perforadas de Jaquard. Todavía más, estableció dos tipos de fichas: de operación y de variables, diseñando así una técnica de programación y no de construcción física, que subyace a muchos lenguajes de programación actuales.

La Máquina Analítica nunca se terminó, aunque Babbage siguió trabajando en ella hasta su muerte en 1871. El problema era doble. La tecnología de la época era insuficiente y, sobre todo, Babbage era un hombre complejo, amargado y perfeccionista que cada vez que concebía una idea nueva deshacía lo hecho y comenzaba una máquina nueva, en un trabajo de Penélope que no tuvo fin.

El diseño de Babbage fue de importancia capital para el diseño de los ordenadores, y, a título de curiosidad, diremos que fue construida en 1989 por un grupo de ingenieros, mas de 100 años después de la muerte de su inventor.

Aunque Babbage escribió extensamente sobre muchos temas, no lo hizo sistemáticamente sobre su Máquina Analítica, ni desde el aspecto constructivo y del de su programación. Pero hemos tenido la fortuna de disponer de otras fuentes inmejorables.

En 1840 Babbage dio una serie de conferencias en Turín. L.F. Menabrea hizo un informe de lo expuesto por Babbage y lo publicó en un periódico de Génova en 1842. Fue traducido al inglés por Lady Lovelace, que tras añadirle amplias notas que casi triplicaban la longitud del trabajo original lo publicó en 1943.

Ada Augusta, condesa de Lovelace, hija de Lord Byron era un genio de las matemáticas y era, al igual que Babbage, al que visitó asiduamente, una mujer adelantada a su tiempo mas de 150 años.

A los 28 años, en 1843 Ada Lovelace dominaba el funcionamiento de la Máquina Analítica y canalizó su enorme talento y energía a mejorar los diseños de Babbage. Una de las ideas seminales de Lady Lovelace era que un cálculo largo puede contener repeticiones de la misma secuencia de instrucciones y estableció que utilizando el salto condicional podría prepararse un conjunto sencillo de tarjetas para las instrucciones recurrentes. Describió lo que hoy llamamos bucle o subrutina.

Hubieron de transcurrir 100 años para que Turing y Von Neumann retomaran la antorcha que Ada Lovelace había encendido.

La mujer con tal visión e inteligencia murió de cáncer a los 36 años, dejando de nuevo a Babbage solo con su trabajo sin recompensa final.

La era del electrón

Lo que hasta el siglo XIX fue mecánico, ahora es eléctrico. La aparición de la electricidad primero y de la electrónica después, han hecho posibles ideas que en el pasado no eran más que elucubraciones teóricas.

Durante los últimos cien años, los cambios han sido tantos y tan rápidos que quizá la mejor manera de presentarlos sea recurrir a una cronología de los descubrimientos.

En 1906 Lee de Forest desarrolló el tubo de vacío, la válvula, que fue usada de forma masiva en las primeras generaciones de ordenadores.

La lógica binaria de Boole tuvo su primera representación en los biestables de Eccles y Jordan y en 1931 Vannevar Bush diseño el primer ordenador en el MIT que curiosamente no era digital sino analógico y resolvía ecuaciones diferenciales. En la misma época Eckert diseñó el primer programa mecánico y, lo que es más importante, Claude F. Shannon presentó en 1937 su tesis de licenciatura en el MIT estableciendo el paralelismo entre la lógica de Boole y los circuitos de transmisión.

Junto a Shannon se alza la figura de Alan M. Turing, responsable del desciframiento de las claves alemanas en la Segunda Guerra Mundial publicó su famoso artículo de 1937 "Sobre los números calculables", estableciendo las limitaciones de un hipotético ordenador.

Pero Turing no sólo estableció el criterio de decibilidad de problemas con su máquina. Desarrolló en gran medida el concepto de inteligencia artificial, con el famoso Test de Turing, y sus teorías sentaron la base para lo que Norbert Wiener llamó después Cibernética.

Tras la construcción en 1939 en los EEUU del primer ordenador electrónico digital por Atanasoff y Berry, los alemanes Zuse y Schreyer construyeron el Z3, primer ordenador programable de uso general. Su sucesor, el Z-8, se desmontó para sacarlo de Berlín en 1945.

El que se suele presentar como primer ordenador fue el diseñado por Aiken en Harvard en la década de 1940. Se llamó ASCC Mark 1 y era una máquina de lógica cableada.

El primer ordenador digital a gran escala fue operativo en 1946. Diseñado por Eckert y Mauchly se denominó ENIAC, y dio lugar a los posteriores y famosos UNIVAC.

En ese mismo 1946 J. von Neumann establece la idea de programa almacenado, con la cual se construye el EDVAC, terminado en 1952, y en la universidad de Manchester Wilkes el EDSAC, unos meses antes que el anterior.

El 1947 se da el primer gran salto teórico-tecnológico. Bardee, Brattain y Shockely diseñan el transistor, con el cual se comenzó la substitución de los tubos de vacío, disminuyendo dramáticamente el volumen de las máquinas.

La primera utilización comercial de un ordenador se produjo en 1952 en la Oficina del Censo de los EEUU, y fue un UNIVAC, que ha entrado ya en la leyenda de la informática. Fue en ese mismo año en el que Wilkes, el diseñador del EDSAC, establece el concepto de micro programación, lo cual posibilita la aparición de los lenguajes de programación de alto nivel, el primero de los cuales, el FORTRAN, fue presentado en 1957 por IBM.

La generalización de los ordenadores

La velocidad en el descubrimiento y desarrollo de nuevos elementos técnicos es creciente, y en 1958 Kilby diseña el primer circuito integrado, sentando las bases de los archiconocidos chips.

Pero la historia de los instrumentos de cálculo deja de ser sólo la de los diseños de construcción, cobrando importancia creciente la evolución de los métodos y lenguajes de programación, y en 1960 se desarrolló el COBOL, primer lenguaje orientado a usuarios no especializados, y el primero realmente intercambiable entre diferentes ordenadores.

La disminución del tamaño permite la aparición de miniordenadores, el primero de los cuales, el PDP-8, lo comercializa Digital en 1963. Esto significa que el mundo de la computación queda definitivamente al alcance de muchas universidades y empresas de tamaño medio.

Un año mas tarde IBM presenta su sistema 360, los primeros ordenadores realmente compatibles, usando tecnología de estado sólido, y un mes después Kemeny y Kurtz desarrollaron en el Darmouth College el BASIC. Este lenguaje de programación y sus epígonos han sido la vía de introducción a la informática de mas de una generación de usuarios.

En 1971 aparece en escena una de los gigantes actuales. INTEL presenta su microprocesador en chip 4004. Era una unidad de 4 bits con 2250 transistores, con una potencia equivalente la del ENIAC de 1946. Este último ocupaba una gran habitación con sus mas de 18.000 tubos de vacío. El 4004 medía 1,6 mm de largo por 1,25 mm de ancho.

La presentación de los microprocesadores es el último gran salto de la informática. Permitió la construcción de los microordenadores, y el desplome de los precios y tamaños han permitido la difusión de las computadoras domésticas y personales al nivel que hoy podemos comprobar.

Los primeros microordenadores, como el Kenbak-1 (1971) o el Altair (1973), fueron de escasa repercusión comercial. El primero en llegar al gran publico fue el Apple I, presentado en 1976 y que estableció un hito insuperable en la historia de la informática. En 1977 Apple, Commodore y Tandy distribuyen los primeros ordenadores completamente ensamblados y el 1981 IBM entra en escena para establecer el standard con su primer PC (Personal Computer) de propósito general. Estos ordenadores usaban un sistema operativo nuevo denominado MS-DOS (Microsoft Disc Operating System), que puso en liza al gigante actual del los programas informáticos.

Los famosos PC's siguieron evolucionando, primero PC-XT, después PC-AT, y, de repente, en 1984 Apple se desmarcó del fenómeno presentando el Macintosh, incompatible con los PC's y que presentaba la revolución del acceso por iconos de referencia en pantalla, flexibilizando enormemente el trabajo de los usuarios. Hay que esperar hasta los noventa para que otro sistema operativo, el Windows de Microsoft presente características comparables.

Intel desarrolla su 80286 en 1984, a continuación el 80386, en 1992 el 80486 y en 1995 el Pentium, que junto con algunos otros, como el i860, el Power PC o el AMD marcan actualmente el standard.

Algo distinto: las calculadoras

Hasta aquí la evolución de los sistemas de cálculo tal y como habitualmente la hemos visto. Pero los sistemas de cálculo no son exclusivamente los ordenadores. En el punto en el que las máquinas de calcular se convierten en máquinas de tabular y después en computadoras, las calculadoras clásicas siguen existiendo, puesto que otro tipo de máquinas es inaccesible para la mayoría de la sociedad. De hecho las calculadoras mecánicas basadas en las ideas de Leibnitz dominaron el mercado hasta finales de los 60 e inicios de los 70. Las mejoras efectuadas lo fueron en elementos derivados de la mejor utilización de la ingeniería y de la evolución de los materiales.

Pero la aparición de los circuitos integrados primero y de los microprocesadores después firmaron la sentencia de muerte de estos auxiliares del cálculo con mas de 300 años de antigüedad. Las calculadoras manuales se convierten en un producto derivado de la evolución de la electrónica.

Una mirada al futuro

Los avances en la tecnología de miniaturización han hecho posibles realidades impensables hace unos pocos años. Pero el futuro no está solamente en la disminución del tamaño y en la potencia. Los ordenadores actuales son prácticamente todos máquinas secuenciales, máquinas Von Neumann, y esto es lo que debe saltar por los aires para una auténtica revolución informática. Hay muchos y variados caminos, pero vayan aquí cuatro referencias al respecto:

	Los superordenadores de transputers. Basados en un único chip que contiene todos los ingredientes de un ordenador clásico, y que se pueden ensamblar con otros similares constituyendo redes capaces de un procesamiento paralelo.
	Los ordenadores celulares. Formados por millares de minúsculos ordenadores que se autorreproducen, siguiendo pautas de desarrollo biológico más que mecánico.
	Las redes neuronales. Ordenadores construidos imitando la distribución de las neuronas cerebrales, tratando de conseguir la redundancia y velocidad que estas establecen en el cuerpo humano.
	Los ordenadores ópticos. Utilizan señales ópticas, no eléctricas, para la transmisión de la información, con una mayor fiabilidad y versatilidad.

Pero no sólo evolucionará la tecnología de construcción. Iguales o mayores avances se esperan en la programación, con el diseño de sistemas expertos y de desarrollos que, como las máquinas de reducción, lleven a conseguir una estructura similar a la inteligencia en un futuro mas o menos cercano.