Breve reseña histórica de las matemáticas

El hombre primitivo necesitó el número (al menos los primeros números naturales) para numerar tal o cual categoría de objetos. Lo necesitó para verificar la cuenta de su rebaño o para efectuar sus rudimentarios intercambios comerciales.

Pero sólo con los egipcios se puede comenzar a hablar de ciencia matemática. Obligados por la naturaleza a la medición de sus tierras, se vieron llevados a manejar líneas y números. Conocieron hechos matemáticos, supieron manejar fórmulas y razonar con figuras geométricas pero sólo por una necesidad práctica, sin una concepción de la ciencia teórica. El examen de los papiros matemáticos nos revelan, no obstante, resultados mas que interesantes. Se encuentra en ellos problemas aritméticos que exigen ya un cierto razonamiento: el cálculo exacto del volumen del tronco de la pirámide cuadrada, el área de una semiesfera calculada con ayuda de una fórmula equivalente a la usada actualmente (con la nada despreciable aproximación para Pi de (9/16)² = 3,160...), resoluciones de ecuaciones de primer grado, etc.

Sin embargo, las cosas cambian radicalmente cuando cuando abordamos "la época griega", en la que, de la mano de Pitágoras, Platón o Demócrito, aparecen conceptos que hasta entonces no habían sido discernidos con presición: la abstracción, la generalización, el análisis y la síntesis. Desde entonces, todos estos procedimientos, que permanecian dormidos en el hombre, fueron puestos al servicio de la razón humana. Para los griegos, cabe mencionar, las nociones matemáticas son puramente abstractas. Las nociones fundamentales son las del número y la figura. Con respecto a las demostraciones encontramos un punto de vista quizá mas notable: no existe el enunciado, sino una demostración lógica.

Otra idea fundamental, relativa al objeto de la ciencia, debía trabar su progreso. Los griegos cultivaron en matemáticas lo que es simple, lo que es hermoso y lo que armonioso. No es difícil comprender, entonces, la repugnancia de los griegos ante los irracionales. En geometría encontramos las mismas preocupaciones. La esfera, el triángulo equilátero y el tetraedro regular, son considerados como de escencia divina. El último gran problema que rompió los marcos de la ciencia griega fue el de las relaciones entre números y magnitudes. Primero los griegos descubrieron con gran satisfacción ciertas relaciones: las proporciones, las figuras cuyos lados están en una relación simple. La escuela de Pitágoras se apasionó por estas cuestiones: "todas las cosas son números". Pero precisamente, el famoso teorema de Pitágoras demostró que la geometría hacía intervenir inmediatamente a los "incalculables" (irracionales para nosotros).

Sin embargo es necesario hacer aquí un paréntesis, ya que no sería prudente separar la historia de la matemática de la historia propia del número. Y es aquí cuando entra en escena uno de los principales aportes a esta ciencia, y que hoy se ha convertido en su alfabeto universal: la numeración india de posición. Recordemos que en la mayoría de las numeraciones, el valor de una cifra era independiente del lugar que ocupara. El "I" de la numeración romana vale uno esté donde esté. La numeración india de posición tiene, en cambio, una capacidad de representación ilimitada: sólo 10 figuras bastan para representar todos los números del mundo.

Las cifras de uno a nueve fueron inventadas en la India antes de nuestra era. Aparecen en inscripciones de Nana Ghat, en el siglo III a.C. Pero el principio de posición no se vislumbra allí, ni se advierte la presencia del cero. En 458, apareció un tratado de cosmología escrito en sánscrito, el Lokavibhaga, donde puede verse el número 14236713, aunque cada cifra consta de todas sus letras.

En el año 773 llegó a Bagdad una embajada india, que en su equipaje traía un par de tesoros: el cálculo y las cifras. El califa Al-Mansur y los sabios árabes que lo rodeaban reconocieron inmediatamente el inestimable valor de aquel presente. La primera obra en lengua árabe que presenta el nuevo saber fué escrita por el célebre Muhammad ibn Musa Al-Khowarizmi: Libro de la adición y de la sustracción según el cálculo de los indios. Gracias a ella el cálculo indio penetró en el occidente cristiano. A partir del siglo XII fué traducido al latín y su celebridad fue tal que que a él le debemos el término algoritmo, de Algorismus, latinización del nombre Al-Khowarizmi. La llegada del método indio suposo una democratización del cálculo; su sencillez sin misterios hizo que su utilización pudiera generalizarse.

Durante la alta Edad Media, en el Occidente cristiano, las operaciones se efectuaban con ábacos, dispositivos de cálculo con aspectos de tablas de columnas. A Raoul de Laon, un abaquista, se le ocurrió por primera vez la idea de colocar en las columnas vacías un carácter llamado sipos. Esta ficha fué sustituída luego por el signo cero.

El segundo grado de abstracción fué alcanzado más de diez siglos después con la época cartesiana. Fue ésta quien discernió las leyes del álgebra y sus múltiples aplicaciones. Sin embargo, para que el álgebra adquiriera su independencia era necesario reformar sus principios; esto fue lo que intentó la obra de Descartes. Para Descartes el álgebra precede lógicamente a todas las demás ramas de las matemáticas aunque no la considera una ciencia, sino un método. La explicación del universo para Descartes es, esencialmente, geométrica y mecánica. Al preocuparse poco por la belleza y la armonía de las nociones que estudia, y al no concentrar su atención más que en un método abstracto de combinaciones lógicas de elementos indeterminados, Descartes rompe claramente con el ideal griego y con ello abre un nuevo horizonte para las matemáticas en el futuro.

Pero sin duda, el extraordinario avance registrado por la matemática, la física y la técnica durante los siglos XVIII, XIX y XX, se lo debemos al Cálculo infinitesimal, inventado en forma casi simultánea por el físico-matemático inglés Isaac Newton y el filósofo-matemático alemán Wilhelm Leibniz. Sus enfoques, no obstante, son bastante diferentes, ya que el primero se ve motivado por sus propias investigaciones físicas (de allí que tratara a las variables como "cantidades que fluyen") mientras que el segundo conserva un carácter más geométrico y, diferenciándose de su colega, trata a la derivada como un cociente incremental, y no como una velocidad. Es más, Leibniz no habla de derivada sino de incrementos infinitamente pequeños, a los que llama diferenciales; así un incremento de x infinitamente pequeño se llama diferencial de x, y se anota dx. Lo mismo ocurre para y (con notación dy). Así, lo que Newton llamaba fluxión, para Leibniz era un cociente de diferenciables (dy/dx). Sin embargo, no es difícil imaginar que, al no poseer en eso tiempos un concepto claro de límite -ni siquiera de función- los fundamentos de su cálculo infinitesimal son poco rigurosos: el cálculo de fluxiones de Newton se basa en algunas demostraciones algebraicas poco convincentes, y las diferenciales de Leibniz se presentan como entidades extrañas, que aunque se definen, no se comportan como incrementos. Esta falta de rigor, muy alejada del carácter perfeccionista de la época griega, fué muy usual en la época post-renacentista y duramente criticada. Dos siglos pasaron hasta que las fallas en los fundamentos del cálculo infinitesimal fueron solucionados, y hoy aquel cálculo, potencialmente enriquecido, se muestra como uno de los más profundos hallazgos del razonamiento humano.

No resulta menos interesante, sin embargo, la polémica desatada a raíz de la prioridad en el descubrimiento. Hoy está claro que ambos descubrieron este cálculo en forma independiente entre 1670 y 1677. Si bien al principio la disputa tomó la forma de cortés correspondencia, al cabo de tres décadas comenzó a mostrarse ofensiva hasta desembocar, ya en el siglo XVIII, en mutuas acusaciones de plagio. La polémica fue exacerbada y finalmente se convirtió en una rivalidad entre los matemáticos británicos y los "continentales".

Es evidente que el perfeccionamiento de los medios de cálculo es siempre un problema para los matemáticos. Es así como hemos visto desarrollarse teorías que sobrepasan netamente las concepciones del álgebra elemental, pero que proceden directamente del espíritu cartesiano: la teoría de los determinantes, el cálculo de matrices, el cálculo vectorial, que simplifica los cálculos de la geometría analítica, etc. También es necesario relacionar los desarrollos de la geometría diferencial clásica con la síntesis algebraico-lógica; la geometría cartesiana es la aplicación del álgebra a las nociones geométricas; la geometría diferencial es la aplicación del análisis a las curvas y superficies. Sólo recibió su desarrollo casi definitivo a comienzos del siglo XX, con Gastón Darboux. A pesar de los numerosos trabajos que había por hacer en este dominio, los matemáticos de fines del siglo XVIII testimonian un cierto cansancio. El horizonte matemático les parecía obstruído. Se había llegado al estudio de cuestiones en demasía complicadas, que carecían en cierto modo de un claro alcance. Los sabios sentían que era necesario estudiar conceptos nuevos, hallar nuevos procedimientos. La aparición de elementos nuevos iba a señalar, justamente, el comienzo de la época moderna. Sin embargo, no sería un hecho único y sensacional -como lo fue la aparición del álgebra- el que marcaría esta transición, sino una transición dentro de cada rama.

Los problemas que señalan en principio la aparición de este nuevo espíritu son los de funciones continuas y los teoremas de existencia. en particular, se creía que toda función contínua era derivable en todos sus puntos, aparte quizá de un número finito o infinito de puntos excepcionales. Cauchy fue el primero, a comienzos del siglo XX, que se entregó a la tarea de dar una definición precisa de "función contínua". Encontramos aquí un espíritu crítico elaborando estas nociones tan ricas, y constituye un punto de vista muy diferente del que animaba a los matemáticos dek siglo precedente. Ya no se trata de construir expresiones ni forjar nuevos métodos de cálculo, sino de analizar conceptos considerados hasta entonces intuitivos. Esto no quiere decir, sin embargo, que no se hayan introducido en la ciencia nuevas nociones. De hecho, algunas como la teoría de conjuntos o la de espacios abstractos, pronto demostraron tener aplicaciones sumamente importantes.

Nota: Este es un estracto del artículo publicado en el portal de argenmaticas.com.ar