Matemático desenmaraña problema legendario

Fuente: University of Wisconsin-Madison - Traducido por Orlando Ramírez

Karl Mahlburg, un joven matemático, ha resuelto una parte crucial de un misterio que ha obsesionado a los matemáticos de la teória de números desde que la leyenda matemática Srinivasa Ramanujan garabateó sus nociones revolucionarias en un cuaderno de notas.

"En pocas palabras, este trabajo es el capítulo final de uno de los asuntos más famosos en la historia de Ramanujan," dice Ken Ono, consejero graduado de Mahlburg y un experto en el trabajo de Ramanujan.

George Andrews, profesor de matemática de la universidad del Estado de Pennsylvania que también ha trabajado profundamente en las ideas de Ramanujan estuvo de acuerdo con Ono.

El padre de la moderna teoría de números, Ramanujan, murió prematuramente en 1920 a la edad de 32 años. El trabajo del matemático hindú es vasto pero él es particularmente famoso por el patrón curioso que tiene la forma en que los números enteros pueden ser descompuestos en sumas más pequeñas o "particiones". El número 4 por ejemplo, tiene cinco particiones porque este puede ser expresado en cinco formas, incluyendo 4, 3+1, 2+2, 1+1+2, y 1+1+1+1.

Ramanujan, quien tuvo poco entrenamiento formal en matemáticas, hizo una lista de particiones para los primeros 200 enteros y observó una regularidad peculiar. Para cualquier número que acaba en 4 ó 9, él encontró que el número de particiones es siempre divisible por 5. Similarmente, comenzando en 5, el número de particiones para cada séptimo entero es un múltiplo de 7, y, comenzando con 6, las particiones para cada onceavo entero son múltiplos de 11.

El descubrimiento fue intrigante, dice Richard Askey un emérito profesor de matemáticas quién también trabaja con aspectos del trabajo de Ramanujan. "No había razón para que todos aquellos comportamientos multiplicativos tengan algo que hacer con estructuras aditivas involucradas en las particiones".

Las extrañas relaciones numéricas que Ramanujan descubrió, ahora llamado las "tres congruencias de Ramanujan", desconcertó a muchísimos teóricos de números. Durante la Segunda Guerra Mundial, un matemático y físico llamado Freeman Dyson comenzó a buscar formas más elementales de probar las congruencias de Ramanujan. El desarrolló una herramienta, llamada una "categoría" (rank), que le permitió fraccionar particiones de números enteros en grupos numéricos de tamaños iguales. La idea funcionó bien con 5 y 7 pero no lo llegó al 11. Dyson postuló que debe haber una herramienta matemática--que él llamó graciosamente un "crank"-- que podría aplicar a las tres congruencias.

Cuatro décadas después, Andrews y su compañero matemático Frank Garvan descubrieron la elusiva función crank y por el momento, al menos, el capítulo de congruencia pareció completo.

Pero en una oportunidad, a finales de los 90, se voltearon los eventos cuando One acudió a uno de los cuadernos de notas originales de Ramanujan. Observando a través de un garabato ilegible, el notó una oscura fórmula numérica que parecía no tener conexión con las particiones, sino fue extrañamente asociado con un trabajo no relacionado. One estuvo rehaciendo la época.

"Estaba desconcertado," recordó Ono.

Siguiendo la guía, Ono rápidamente hizo el alarmado descubrimiento que las particiones congruentes no sólo existen para los números primos 5, 7 y 11, sinó que pueden ser encontradas para todos los números primos mayores. Para probar esto, Ono encontró una conexión entre la partición de los números y una especial relación matemática llamada formas modulares.

Pero ahora que Ono había desvelado infinitos números de particiones congruentes, la pregunta obvia fue si el "crank" universalmente aplicó a todos ellos. En lo que Ono llamó "un argumento fantasticamente ingenioso," Mahlburg ha demostrado que eso es así.

Mahlburg, estudiante doctoral de la universidad UW-Madison, dice que invirtió un año manipulando fórmulas numéricas o funciones "feas y horriblemente complicadas", que emergieron cuando aplicó la herramienta "crank" a varios números primos. "Pensé que estaba trabajando con una gran colección de funciones, bajo la superficie comencé lentamente a ver una uniformidad entre ellas," dice Mahlburg.

 

Construyendo el trabajo de Ono con formas modulares, Mahlburg encontró que en lugar de dividir los números en grupos iguales, tales como poner el número 115 en cinco grupos iguales de 23 (que no es múltiplo de 5), la idea de la congruencia de la partición aún se mantiene si los números son descompuesto de manera diferente. En otras palabras, 115 podía también ser descompuesto como 25, 25, 25, 10 y 30. Puesto que cada parte es un múltiplo de 5, se concluye que la suma de las partes también es un múltiplo de 5. Mahlburg demostró la idea extendiendo a cada número primo. "Este es un resultado increible", dice Askey.

El trabajo de Mahlburg completa la búsqueda afanosa de la función crank, dice Andrews del estado de Pennsylvania, pero es solo un "comienzo organizado" a la búsqueda de una prueba más simple del descubrimiento de Ramanujan. "Mahlburg ha mostrado la gran profundidad de un hueco particular que salieron de cosas interesantes que Ramanujan dibujó", Andrews añadió, "pero hay aún abundante huecos que no entendemos."

Biografia de Srinivasa Ramanujan